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Latex/pseudocode.tex

@@ -209,7 +209,7 @@ output: $q \in \mathbb{IK}[x,y]/\left(x^{2k+1},y^{m+1}\right)$, $r \in \mathbb{I
 
 \section*{Hensel}
 $g\in \mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{n+1}\right)$\\
-$h \in \mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{l+1}\right)$, $h$ unitaire\\
+$h \in \mathbb{K}[x,y]_1/\left(x^{k+1},y^{l+1}\right)$, $h$ unitaire\\
 $f \in \mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{n+l+1}\right)$\\
 Problème: $F(g,h) = gh-f$\\
 $N_F(g,h) =
@@ -233,11 +233,11 @@ Appliqué à notre fonction F, ça donne:
       &= F(g,h) + g\epsilon_h + h\epsilon_g + \mathcal{O}(2)
 \end{align*}
 Donc nous avons $J_F(g,h)\cdot(\epsilon_g,\epsilon_h) =  g\epsilon_h + h\epsilon_g $\\
-$J_F(g,h): \mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{n+1}\right)\times\mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{l+1}\right)\rightarrow\mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{n+l+1}\right), (\epsilon_g,\epsilon_h) \mapsto g\epsilon_h + h \epsilon_g$\\
+$J_F(g,h): \mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{n+1}\right)\times\mathbb{K}[x,y]_1/\left(x^{k+1},y^{l+1}\right)\rightarrow\mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{n+l+1}\right), (\epsilon_g,\epsilon_h) \mapsto g\epsilon_h + h \epsilon_g$\\
 Lec cofacteurs de Bézout ($s,t: sg+th\equiv 1 \mod x^{k+1}$) peuvent être considerés comme des inverses approximatives, alors pour l'inverse de $J_F$ on a: $J_F^{-1}(\delta) \simeq \left( \begin{matrix}
       t\delta\%g\\
       s\delta\%h
-\end{matrix}\right)$, $J_F^{-1}: \mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{n+l+1}\right)\rightarrow\mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{n+1}\right)\times\mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{l+1}\right)$.\\
+\end{matrix}\right)$, $J_F^{-1}: \mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{n+l+1}\right)\rightarrow\mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{n+1}\right)\times\mathbb{K}[x,y]_1/\left(x^{k+1},y^{l+1}\right)$.\\
 En conséquence, cela nous donne: $N_F(g,h) =
 \left( \begin{matrix}
       g\\
@@ -246,7 +246,7 @@ En conséquence, cela nous donne: $N_F(g,h) =
 - \left( \begin{matrix}
       t(gh-f)\%g\\
       s(gh-f)\%h
-\end{matrix}\right) $, pour $t(gh-f)\%g$ et $s(gh-f)\%h$, nous utilisons le fastdivrem validé.\\
+\end{matrix}\right) $, pour $t(gh-f)\%g$ et $s(gh-f)\%h$, nous utilisons le fastdivrem validé. $N_F: \mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{n+1}\right)\times\mathbb{K}[x,y]_1/\left(x^{k+1},y^{l+1}\right) \rightarrow \mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{n+1}\right)\times\mathbb{K}[x,y]_1/\left(x^{k+1},y^{l+1}\right)$\\
 Nous trouvons $\Lambda$ et $\delta$ de la façon suivante:\\
 $|N_F(g,h)-N_F(g',h')|\leq\Lambda(r)|(g,h)-(g',h')|$ avec $g_{ij},g'_{ij}\in \left[\tilde{g}\pm r_{g,ij}\right]$ and $h_{ij},h'_{ij}\in \left[\tilde{h}\pm r_{h,ij}\right]$, $\delta \geq |N_F(\tilde{g},\tilde{h})-(\tilde{g},\tilde{h})| = |A_F(\tilde{g}\tilde{h}-f)|$\\
 \begin{align*}
@@ -393,7 +393,7 @@ Cherché: $g, h \in \mathbb{IK}[x,y]/(x^{k+1})$ tel que $g^*_{ij} \in g_{ij}, h^
 \end{cases}$\\
 4. for $i = 0,\dots,i_{max}$\\
 5. \qquad $e \leftarrow g_ih_i-f\mod x^{k+1}$ \\
-6. \qquad $q,r = $ fastdivrem(se,$h_i$)\\
+6. \qquad $q,r = $ fastdivrem(se,$h_i$) (validé)\\
 7. \qquad $g_{i+1} \leftarrow g_i + te +qg_i \mod x^{k+1}$\\
 8. \qquad $h_{i+1} \leftarrow h_i+r \mod x^{k+1}$\\
 9. \qquad if $radius(h_{i+1}) - radius(h_i) < \eta_h$ and $radius(g_{i+1}) - radius(g_i) < \eta_g$\\