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Commit 7acfb51b authored by Krueger Jasmin's avatar Krueger Jasmin
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fixed notation and added a continuation for finding lambda

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...@@ -208,9 +208,10 @@ output: $q \in \mathbb{IK}[x,y]/\left(x^{2k+1},y^{m+1}\right)$, $r \in \mathbb{I ...@@ -208,9 +208,10 @@ output: $q \in \mathbb{IK}[x,y]/\left(x^{2k+1},y^{m+1}\right)$, $r \in \mathbb{I
\section*{Hensel} \section*{Hensel}
$g\in \mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{n+1}\right)$\\ $L := \mathbb{K}[x]/(x^{k+1})$\\
$h \in \mathbb{K}[x,y]_1/\left(x^{k+1},y^{l+1}\right)$, $h$ unitaire\\ $g \in L[y]_{\leq n}$\\
$f \in \mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{n+l+1}\right)$\\ $h \in L[y]_{\leq m}$, $h$ unitaire\\
$f \in L[y]_{\leq n+m}$\\
Problème: $P(g,h) = gh-f$\\ Problème: $P(g,h) = gh-f$\\
$N_P(g,h) = $N_P(g,h) =
\left( \begin{matrix} \left( \begin{matrix}
...@@ -222,7 +223,7 @@ avec $\left( \begin{matrix} ...@@ -222,7 +223,7 @@ avec $\left( \begin{matrix}
g\\ g\\
h h
\end{matrix}\right) \end{matrix}\right)
\in \mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{n+1}\right)\times \mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{l+1}\right)$, et $(gh-f) \in \mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{n+l+1}\right)$\\ \in L[y]_{\leq n}\times L[y]_{\leq m}$, et $(gh-f) \in L[y]_{\leq n+m}$\\
$ A \simeq J_P^{-1}$, alors nous regardons $J_P^{-1}$\\ $ A \simeq J_P^{-1}$, alors nous regardons $J_P^{-1}$\\
Nous savons que $P(q+\epsilon_g,h+\epsilon_h)= P(g,h) + J_P(g,h)\cdot(\epsilon_g,\epsilon_h)+ \mathcal{O}(2)$.\\ Nous savons que $P(q+\epsilon_g,h+\epsilon_h)= P(g,h) + J_P(g,h)\cdot(\epsilon_g,\epsilon_h)+ \mathcal{O}(2)$.\\
Appliqué à notre fonction P, ça donne: Appliqué à notre fonction P, ça donne:
...@@ -233,11 +234,11 @@ Appliqué à notre fonction P, ça donne: ...@@ -233,11 +234,11 @@ Appliqué à notre fonction P, ça donne:
&= P(g,h) + g\epsilon_h + h\epsilon_g + \mathcal{O}(2) &= P(g,h) + g\epsilon_h + h\epsilon_g + \mathcal{O}(2)
\end{align*} \end{align*}
Donc nous avons $J_P(g,h)\cdot(\epsilon_g,\epsilon_h) = h\epsilon_g + g\epsilon_h$\\ Donc nous avons $J_P(g,h)\cdot(\epsilon_g,\epsilon_h) = h\epsilon_g + g\epsilon_h$\\
$J_P(g,h): \mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{n+1}\right)\times\mathbb{K}[x,y]_1/\left(x^{k+1},y^{l+1}\right)\rightarrow\mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{n+l+1}\right), (\epsilon_g,\epsilon_h) \mapsto h\epsilon_g + g\epsilon_h$\\ $J_P(g,h): L[y]_{\leq n}\times L[y]_{\leq m}^1\rightarrow L[y]_{\leq n+m}, \quad (\epsilon_g,\epsilon_h) \mapsto h\epsilon_g + g\epsilon_h$\\
Lec cofacteurs de Bézout ($s,t: sg+th\equiv 1 \mod x^{k+1}$) peuvent être considerés comme des inverses approximatives, alors pour l'inverse de $J_P$ on a: $J_P^{-1}(e) \simeq \left( \begin{matrix} Lec cofacteurs de Bézout ($s,t: sg+th\equiv 1 \mod x^{k+1}$) peuvent être considerés comme des inverses approximatives, alors pour l'inverse de $J_P$ on a: $J_P^{-1}(e) \simeq \left( \begin{matrix}
te\%g\\ te\%g\\
se\%h se\%h
\end{matrix}\right)$, $J_P^{-1}: \mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{n+l+1}\right)\rightarrow\mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{n+1}\right)\times\mathbb{K}[x,y]_1/\left(x^{k+1},y^{l+1}\right)$.\\ \end{matrix}\right)$, $J_P^{-1}: L[y]_{\leq n+m} \rightarrow L[y]_{\leq n} \times L[y]_{\leq m}$.\\
En conséquence, cela nous donne: $N_P(g,h) = En conséquence, cela nous donne: $N_P(g,h) =
\left( \begin{matrix} \left( \begin{matrix}
g\\ g\\
...@@ -246,7 +247,8 @@ En conséquence, cela nous donne: $N_P(g,h) = ...@@ -246,7 +247,8 @@ En conséquence, cela nous donne: $N_P(g,h) =
- \left( \begin{matrix} - \left( \begin{matrix}
t(gh-f)\%g\\ t(gh-f)\%g\\
s(gh-f)\%h s(gh-f)\%h
\end{matrix}\right) $, pour $t(gh-f)\%g$ et $s(gh-f)\%h$, nous utilisons le fastdivrem validé. $N_P: \mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{n+1}\right)\times\mathbb{K}[x,y]_1/\left(x^{k+1},y^{l+1}\right) \rightarrow \mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{n+1}\right)\times\mathbb{K}[x,y]_1/\left(x^{k+1},y^{l+1}\right)$\\ \end{matrix}\right) $, pour $t(gh-f)\%g$ et $s(gh-f)\%h$, nous utilisons le fastdivrem validé. $N_P: L[y]_{\leq n} \times L[y]_{\leq m} \rightarrow L[y]_{\leq n} \times L[y]_{\leq m}$\\
Dans ce qui suit, j'utilise $\tilde{g},\tilde{h}$ pour les approximations initiales de $g$ et $h$.\\
Nous trouvons $\Lambda$ et $\delta$ de la façon suivante:\\ Nous trouvons $\Lambda$ et $\delta$ de la façon suivante:\\
$|N_P(g,h)-N_P(g',h')|\leq\Lambda(r)|(g,h)-(g',h')|$ avec $g_{ij},g'_{ij}\in \left[\tilde{g}\pm r_{g,ij}\right]$ and $h_{ij},h'_{ij}\in \left[\tilde{h}\pm r_{h,ij}\right]$, $\delta \geq |N_P(\tilde{g},\tilde{h})-(\tilde{g},\tilde{h})| = |A_P(\tilde{g}\tilde{h}-f)|$\\ $|N_P(g,h)-N_P(g',h')|\leq\Lambda(r)|(g,h)-(g',h')|$ avec $g_{ij},g'_{ij}\in \left[\tilde{g}\pm r_{g,ij}\right]$ and $h_{ij},h'_{ij}\in \left[\tilde{h}\pm r_{h,ij}\right]$, $\delta \geq |N_P(\tilde{g},\tilde{h})-(\tilde{g},\tilde{h})| = |A_P(\tilde{g}\tilde{h}-f)|$\\
\begin{align*} \begin{align*}
...@@ -343,22 +345,20 @@ $|N_P(g,h)-N_P(g',h')|\leq\Lambda(r)|(g,h)-(g',h')|$ avec $g_{ij},g'_{ij}\in \le ...@@ -343,22 +345,20 @@ $|N_P(g,h)-N_P(g',h')|\leq\Lambda(r)|(g,h)-(g',h')|$ avec $g_{ij},g'_{ij}\in \le
(t(-gh+f+g'h'-f))\%\tilde{g}\\ (t(-gh+f+g'h'-f))\%\tilde{g}\\
(s(-gh+f+g'h'-f))\%\tilde{h} (s(-gh+f+g'h'-f))\%\tilde{h}
\end{matrix}\right)\right|\\ \end{matrix}\right)\right|\\
%&=\left|\left( \begin{matrix} &=\left|\left( \begin{matrix}
% g\\ g\\
% h h
%\end{matrix}\right) \end{matrix}\right)
%- -
%\left( \begin{matrix} \left( \begin{matrix}
% g'\\ g'\\
% h' h'
%\end{matrix}\right) \end{matrix}\right)
%+ \left( \begin{matrix} + \left( \begin{matrix}
% (t(-gh+g'h'))\%\tilde{g}\\ (t(-gh+g'h'))\%\tilde{g}\\
% (s(-gh+g'h'))\%\tilde{h} (s(-gh+g'h'))\%\tilde{h}
%\end{matrix}\right)\right|\\ \end{matrix}\right)\right|\\
\end{align*} \end{align*}
$t,s$ vont rester les mêmes ou on regarde des differents? je crois qu'on avait décidé de les laisser les mêmes pour la validation, donc on les traite commes le $q_0$ avant??\\
I need to decide which of the $g,h$ in $N_P$ are $\tilde{g},\tilde{h}$ and which are $\tilde{g}_0,\tilde{h}_0$.
\begin{align*} \begin{align*}
\delta &\geq \left| N_P(\tilde{g},\tilde{h})-\left( \begin{matrix} \delta &\geq \left| N_P(\tilde{g},\tilde{h})-\left( \begin{matrix}
...@@ -379,27 +379,27 @@ I need to decide which of the $g,h$ in $N_P$ are $\tilde{g},\tilde{h}$ and which ...@@ -379,27 +379,27 @@ I need to decide which of the $g,h$ in $N_P$ are $\tilde{g},\tilde{h}$ and which
\end{matrix}\right)\right| \end{matrix}\right)\right|
\end{align*} \end{align*}
\subsection*{Pseudocode} % \subsection*{Pseudocode}
Donné: $g,h,s,t \in \mathbb{K}[x,y]/(x^{k+1})$, solutions approximatives de $f\equiv gh \mod x^{k+1}$, et $sg+th\equiv 1 \mod x^{k+1}$ \\ % Donné: $g,h,s,t \in \mathbb{K}[x,y]/(x^{k+1})$, solutions approximatives de $f\equiv gh \mod x^{k+1}$, et $sg+th\equiv 1 \mod x^{k+1}$ \\
Cherché: $\boldsymbol{g}, \boldsymbol{h} \in \mathbb{IK}[x,y]/(x^{k+1})$ tel que $g^*_{ij} \in \boldsymbol{g}_{ij}, h^*_{ij}\in \boldsymbol{h}_{ij} \forall i \forall j$\\ % Cherché: $\boldsymbol{g}, \boldsymbol{h} \in \mathbb{IK}[x,y]/(x^{k+1})$ tel que $g^*_{ij} \in \boldsymbol{g}_{ij}, h^*_{ij}\in \boldsymbol{h}_{ij} \forall i \forall j$\\
1. transform $g,h,s,t$ into thin intervals\\ % 1. transform $g,h,s,t$ into thin intervals\\
2. $\delta \leftarrow \left|\left( \begin{matrix} % 2. $\delta \leftarrow \left|\left( \begin{matrix}
t(gh-f)\%g\\ % t(gh-f)\%g\\
s(gh-f)\%h % s(gh-f)\%h
\end{matrix}\right)\right| \mod x^{k+1}$\\ % \end{matrix}\right)\right| \mod x^{k+1}$\\
3. $\eta_{ij} \leftarrow \begin{cases} % 3. $\eta_{ij} \leftarrow \begin{cases}
\varepsilon \delta_{ij} & \text{if } \delta_{ij} > 0\\ % \varepsilon \delta_{ij} & \text{if } \delta_{ij} > 0\\
\varepsilon \cdot \underset{\delta_{lm} > 0}{\min}\delta_{lm} & \text{if } \delta_{ij} = 0 % \varepsilon \cdot \underset{\delta_{lm} > 0}{\min}\delta_{lm} & \text{if } \delta_{ij} = 0
\end{cases}$\\ % \end{cases}$\\
4. for $i = 0,\dots,i_{max}$\\ % 4. for $i = 0,\dots,i_{max}$\\
5. \qquad $e \leftarrow g_ih_i-f\mod x^{k+1}$ \\ % 5. \qquad $e \leftarrow g_ih_i-f\mod x^{k+1}$ \\
6. \qquad $q,r = $ fastdivrem(se,$h_i$) (validé)\\ % 6. \qquad $q,r = $ fastdivrem(se,$h_i$) (validé)\\
7. \qquad $g_{i+1} \leftarrow g_i + te +qg_i \mod x^{k+1}$\\ % 7. \qquad $g_{i+1} \leftarrow g_i + te +qg_i \mod x^{k+1}$\\
8. \qquad $h_{i+1} \leftarrow h_i+r \mod x^{k+1}$\\ % 8. \qquad $h_{i+1} \leftarrow h_i+r \mod x^{k+1}$\\
9. \qquad if $radius(h_{i+1}) - radius(h_i) < \eta_h$ and $radius(g_{i+1}) - radius(g_i) < \eta_g$\\ % 9. \qquad if $radius(h_{i+1}) - radius(h_i) < \eta_h$ and $radius(g_{i+1}) - radius(g_i) < \eta_g$\\
10.\qquad \qquad return $g_i,h_i$\\ % 10.\qquad \qquad return $g_i,h_i$\\
11.\qquad end if\\ % 11.\qquad end if\\
12. end for % 12. end for
\subsection*{Finding Lambda} \subsection*{Finding Lambda}
...@@ -514,7 +514,7 @@ nous avons: ...@@ -514,7 +514,7 @@ nous avons:
\left(\delta_g + \epsilon\delta_g +t(h-\tilde{h})\delta_g+t\left(g-\tilde{g}\right)\delta_h+t\delta_g\delta_h\right)\%\tilde{g}\\ \left(\delta_g + \epsilon\delta_g +t(h-\tilde{h})\delta_g+t\left(g-\tilde{g}\right)\delta_h+t\delta_g\delta_h\right)\%\tilde{g}\\
\left(s\left(h-\tilde{h}\right)\delta_g+\left(1+\epsilon\right)\delta_h + s\left(g-\tilde{g}\right)\delta_h+s\delta_g\delta_h\right)\%\tilde{h} \left(s\left(h-\tilde{h}\right)\delta_g+\left(1+\epsilon\right)\delta_h + s\left(g-\tilde{g}\right)\delta_h+s\delta_g\delta_h\right)\%\tilde{h}
\end{matrix}\right)\right|\\ \end{matrix}\right)\right|\\
& \leq \left(\begin{matrix} & \leq \left|\left(\begin{matrix}
r_g\\ r_g\\
r_h r_h
\end{matrix}\right) \end{matrix}\right)
...@@ -522,15 +522,35 @@ nous avons: ...@@ -522,15 +522,35 @@ nous avons:
\left(\begin{matrix} \left(\begin{matrix}
\left(r_g + \epsilon r_g +tr_hr_g+tr_gr_h+t r_g r_h\right)\%\tilde{g}\\ \left(r_g + \epsilon r_g +tr_hr_g+tr_gr_h+t r_g r_h\right)\%\tilde{g}\\
\left(s r_h r_g+\left(1+\epsilon\right)r_h + s r_g r_h+ s r_g r_h\right)\%\tilde{h} \left(s r_h r_g+\left(1+\epsilon\right)r_h + s r_g r_h+ s r_g r_h\right)\%\tilde{h}
\end{matrix}\right)\\ \end{matrix}\right)\right|\\
&= \left(\begin{matrix} &= \left| \left(\begin{matrix}
r_g\\ r_g\\
r_h r_h
\end{matrix}\right) \end{matrix}\right)
+ \left(\begin{matrix} + \left(\begin{matrix}
\left((1+\epsilon)r_g + 3tr_gr_h\right)\%\tilde{g}\\ \left((1+\epsilon)r_g + 3tr_gr_h\right)\%\tilde{g}\\
\left((1+\epsilon)r_h + 3sr_gr_h\right)\%\tilde{h} \left((1+\epsilon)r_h + 3sr_gr_h\right)\%\tilde{h}
\end{matrix}\right) \right|\\
&= \left| \left(\begin{matrix}
r_g\\
r_h
\end{matrix}\right)
+ \left(\begin{matrix}
\left((1+\epsilon)r_g + 3tr_gr_h\right)-\tilde{g}\cdot rev\left(rev\left((1+\epsilon)r_g + 3tr_gr_h\right)\cdot \dot{g}\right)\\
\left((1+\epsilon)r_h + 3sr_gr_h\right) -\tilde{h}\cdot rev\left(rev\left((1+\epsilon)r_h + 3sr_gr_h\right)\cdot\dot{h}\right)
\end{matrix}\right) \right|\\
&= \left| \left(\begin{matrix}
r_g\\
r_h
\end{matrix}\right) \end{matrix}\right)
+ \left(\begin{matrix}
(1+\epsilon +3tr_h)r_g-\tilde{g}\cdot rev\left(rev\left((1+\epsilon+3tr_h)r_g\right) \cdot \dot{g}\right)\\
(1+\epsilon+3sr_g)r_h -\tilde{h}\cdot rev\left(rev\left((1+\epsilon+3sr_g)r_h\right)\cdot\dot{h}\right)
\end{matrix}\right) \right| \\
&= \left| \left(\begin{matrix}
(2+\epsilon +3tr_h)r_g-\tilde{g}\cdot rev\left(rev\left((1+\epsilon+3tr_h)r_g\right) \cdot \dot{g}\right)\\
(2+\epsilon+3sr_g)r_h -\tilde{h}\cdot rev\left(rev\left((1+\epsilon+3sr_g)r_h\right)\cdot\dot{h}\right)
\end{matrix}\right)\right|\\
\end{align*} \end{align*}
ou alors, en notant $\dot{g} := rev(\tilde{g})^{-1}$ et $rev(a):= rev_{\deg a}(a)$: ou alors, en notant $\dot{g} := rev(\tilde{g})^{-1}$ et $rev(a):= rev_{\deg a}(a)$:
... ...
......
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