fixed typos and notation

Latex/pseudocode.tex

@@ -211,8 +211,8 @@ output: $q \in \mathbb{IK}[x,y]/\left(x^{2k+1},y^{m+1}\right)$, $r \in \mathbb{I
 $g\in \mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{n+1}\right)$\\
 $h \in \mathbb{K}[x,y]_1/\left(x^{k+1},y^{l+1}\right)$, $h$ unitaire\\
 $f \in \mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{n+l+1}\right)$\\
-Problème: $F(g,h) = gh-f$\\
-$N_F(g,h) =
+Problème: $P(g,h) = gh-f$\\
+$N_P(g,h) =
 \left( \begin{matrix}
       g\\
       h
@@ -223,22 +223,22 @@ avec $\left( \begin{matrix}
       h
 \end{matrix}\right)
 \in  \mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{n+1}\right)\times \mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{l+1}\right)$, et $(gh-f) \in \mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{n+l+1}\right)$\\
-$ A \simeq J_F^{-1}$, alors nous regardons $J_F^{-1}$\\
-Nous savons que $F(q+\epsilon_g,h+\epsilon_h)= F(g,h) + J_F(g,h)\cdot(\epsilon_g,\epsilon_h)+ \mathcal{O}(2)$.\\
-Appliqué à notre fonction F, ça donne: 
+$ A \simeq J_P^{-1}$, alors nous regardons $J_P^{-1}$\\
+Nous savons que $P(q+\epsilon_g,h+\epsilon_h)= P(g,h) + J_P(g,h)\cdot(\epsilon_g,\epsilon_h)+ \mathcal{O}(2)$.\\
+Appliqué à notre fonction P, ça donne: 
 \begin{align*}
-      F(g+\epsilon_g,h+\epsilon_h) &= \left(g+\epsilon_g\right)\cdot\left(h+\epsilon_h\right) -f\\
+      P(g+\epsilon_g,h+\epsilon_h) &= \left(g+\epsilon_g\right)\cdot\left(h+\epsilon_h\right) -f\\
       &= gh + g\epsilon_h + h\epsilon_g + \epsilon_g\epsilon_h - f\\
       &= gh - f + g\epsilon_h + h\epsilon_g + \epsilon_g\epsilon_h\\
-      &= F(g,h) + g\epsilon_h + h\epsilon_g + \mathcal{O}(2)
+      &= P(g,h) + g\epsilon_h + h\epsilon_g + \mathcal{O}(2)
 \end{align*}
-Donc nous avons $J_F(g,h)\cdot(\epsilon_g,\epsilon_h) =  g\epsilon_h + h\epsilon_g $\\
-$J_F(g,h): \mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{n+1}\right)\times\mathbb{K}[x,y]_1/\left(x^{k+1},y^{l+1}\right)\rightarrow\mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{n+l+1}\right), (\epsilon_g,\epsilon_h) \mapsto g\epsilon_h + h \epsilon_g$\\
-Lec cofacteurs de Bézout ($s,t: sg+th\equiv 1 \mod x^{k+1}$) peuvent être considerés comme des inverses approximatives, alors pour l'inverse de $J_F$ on a: $J_F^{-1}(\delta) \simeq \left( \begin{matrix}
-      t\delta\%g\\
-      s\delta\%h
-\end{matrix}\right)$, $J_F^{-1}: \mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{n+l+1}\right)\rightarrow\mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{n+1}\right)\times\mathbb{K}[x,y]_1/\left(x^{k+1},y^{l+1}\right)$.\\
-En conséquence, cela nous donne: $N_F(g,h) =
+Donc nous avons $J_P(g,h)\cdot(\epsilon_g,\epsilon_h) = h\epsilon_g + g\epsilon_h$\\
+$J_P(g,h): \mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{n+1}\right)\times\mathbb{K}[x,y]_1/\left(x^{k+1},y^{l+1}\right)\rightarrow\mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{n+l+1}\right), (\epsilon_g,\epsilon_h) \mapsto h\epsilon_g + g\epsilon_h$\\
+Lec cofacteurs de Bézout ($s,t: sg+th\equiv 1 \mod x^{k+1}$) peuvent être considerés comme des inverses approximatives, alors pour l'inverse de $J_P$ on a: $J_P^{-1}(e) \simeq \left( \begin{matrix}
+      te\%g\\
+      se\%h
+\end{matrix}\right)$, $J_P^{-1}: \mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{n+l+1}\right)\rightarrow\mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{n+1}\right)\times\mathbb{K}[x,y]_1/\left(x^{k+1},y^{l+1}\right)$.\\
+En conséquence, cela nous donne: $N_P(g,h) =
 \left( \begin{matrix}
       g\\
       h
@@ -246,11 +246,11 @@ En conséquence, cela nous donne: $N_F(g,h) =
 - \left( \begin{matrix}
       t(gh-f)\%g\\
       s(gh-f)\%h
-\end{matrix}\right) $, pour $t(gh-f)\%g$ et $s(gh-f)\%h$, nous utilisons le fastdivrem validé. $N_F: \mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{n+1}\right)\times\mathbb{K}[x,y]_1/\left(x^{k+1},y^{l+1}\right) \rightarrow \mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{n+1}\right)\times\mathbb{K}[x,y]_1/\left(x^{k+1},y^{l+1}\right)$\\
+\end{matrix}\right) $, pour $t(gh-f)\%g$ et $s(gh-f)\%h$, nous utilisons le fastdivrem validé. $N_P: \mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{n+1}\right)\times\mathbb{K}[x,y]_1/\left(x^{k+1},y^{l+1}\right) \rightarrow \mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{n+1}\right)\times\mathbb{K}[x,y]_1/\left(x^{k+1},y^{l+1}\right)$\\
 Nous trouvons $\Lambda$ et $\delta$ de la façon suivante:\\
-$|N_F(g,h)-N_F(g',h')|\leq\Lambda(r)|(g,h)-(g',h')|$ avec $g_{ij},g'_{ij}\in \left[\tilde{g}\pm r_{g,ij}\right]$ and $h_{ij},h'_{ij}\in \left[\tilde{h}\pm r_{h,ij}\right]$, $\delta \geq |N_F(\tilde{g},\tilde{h})-(\tilde{g},\tilde{h})| = |A_F(\tilde{g}\tilde{h}-f)|$\\
+$|N_P(g,h)-N_P(g',h')|\leq\Lambda(r)|(g,h)-(g',h')|$ avec $g_{ij},g'_{ij}\in \left[\tilde{g}\pm r_{g,ij}\right]$ and $h_{ij},h'_{ij}\in \left[\tilde{h}\pm r_{h,ij}\right]$, $\delta \geq |N_P(\tilde{g},\tilde{h})-(\tilde{g},\tilde{h})| = |A_P(\tilde{g}\tilde{h}-f)|$\\
 \begin{align*}
-      |N_F(g,h) - N_F(g',h')| &= \left|\left( \begin{matrix}
+      |N_P(g,h) - N_P(g',h')| &= \left|\left( \begin{matrix}
             g\\
             h
       \end{matrix}\right)
@@ -358,10 +358,10 @@ $|N_F(g,h)-N_F(g',h')|\leq\Lambda(r)|(g,h)-(g',h')|$ avec $g_{ij},g'_{ij}\in \le
       %\end{matrix}\right)\right|\\
 \end{align*}
 $t,s$ vont rester les mêmes ou on regarde des differents? je crois qu'on avait décidé de les laisser les mêmes pour la validation, donc on les traite commes le $q_0$ avant??\\
-I need to decide which of the $g,h$ in $N_F$ are $\tilde{g},\tilde{h}$ and which are $\tilde{g}_0,\tilde{h}_0$. 
+I need to decide which of the $g,h$ in $N_P$ are $\tilde{g},\tilde{h}$ and which are $\tilde{g}_0,\tilde{h}_0$. 
 
 \begin{align*}
-      \delta &\geq \left| N_F(\tilde{g},\tilde{h})-\left( \begin{matrix}
+      \delta &\geq \left| N_P(\tilde{g},\tilde{h})-\left( \begin{matrix}
             \tilde{g}\\
             \tilde{h}
       \end{matrix}\right)\right|\\
@@ -380,12 +380,12 @@ I need to decide which of the $g,h$ in $N_F$ are $\tilde{g},\tilde{h}$ and which
 \end{align*}
 
 \subsection*{Pseudocode}
-Donné: $g,h,s,t \in \mathbb{K}[x,y]/(x^{k+1})$, solutions approximatives de $f\equiv gh \mod x^{k+1}$, et $sg+th\equiv 0 \mod x^{k+1}$ \\
-Cherché: $g, h \in \mathbb{IK}[x,y]/(x^{k+1})$ tel que $g^*_{ij} \in g_{ij}, h^*_{ij}\in h_{ij} \forall i \forall j$\\
+Donné: $g,h,s,t \in \mathbb{K}[x,y]/(x^{k+1})$, solutions approximatives de $f\equiv gh \mod x^{k+1}$, et $sg+th\equiv 1 \mod x^{k+1}$ \\
+Cherché: $\boldsymbol{g}, \boldsymbol{h} \in \mathbb{IK}[x,y]/(x^{k+1})$ tel que $g^*_{ij} \in \boldsymbol{g}_{ij}, h^*_{ij}\in \boldsymbol{h}_{ij} \forall i \forall j$\\
 1. transform $g,h,s,t$ into thin intervals\\
 2. $\delta \leftarrow \left|\left( \begin{matrix}
-      t(\tilde{g}\tilde{h}-f)\%\tilde{g}\\
-      s(\tilde{g}\tilde{h}-f)\%\tilde{h}
+      t(gh-f)\%g\\
+      s(gh-f)\%h
 \end{matrix}\right)\right| \mod x^{k+1}$\\
 3. $\eta_{ij} \leftarrow \begin{cases}
       \varepsilon \delta_{ij} & \text{if } \delta_{ij} > 0\\