Validated Hensel in Latex

Latex/pseudocode.tex

@@ -206,6 +206,110 @@ output: $q \in \mathbb{IK}[x,y]/\left(x^{2k+1},y^{m+1}\right)$, $r \in \mathbb{I
 8. $r = a - bq \text{ mod } x^{2k+1}$, \qquad $r \in \mathbb{IK}[x,y]/\left(x^{2k+1},y^{n}\right)$\\
 9. return $q$ and $r$
 
+
+\section*{Hensel}
+$g\in \mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{n+1}\right)$\\
+$h \in \mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{l+1}\right)$, $h$ unitaire\\
+$f \in \mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{n+l+1}\right)$\\
+Problème: $F(g,h) = gh-f$\\
+$N_F(g,h) =
+\left( \begin{matrix}
+      g\\
+      h
+\end{matrix}\right)
+ - A \cdot (gh-f)$
+avec $\left( \begin{matrix}
+      g\\
+      h
+\end{matrix}\right)
+\in  \mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{n+1}\right)\times \mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{l+1}\right)$, et $(gh-f) \in \mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{n+l+1}\right)$\\
+$ A \simeq J_F^{-1}$, alors nous regardons $J_F^{-1}$\\
+Nous savons que $F(q+\epsilon_g,h+\epsilon_h)= F(g,h) + J_F(g,h)\cdot(\epsilon_g,\epsilon_h)+ \mathcal{O}(2)$.\\
+Appliqué à notre fonction F, ça donne: 
+\begin{align*}
+      F(g+\epsilon_g,h+\epsilon_h) &= \left(g+\epsilon_g\right)\cdot\left(h+\epsilon_h\right) -f\\
+      &= gh + g\epsilon_h + h\epsilon_g + \epsilon_g\epsilon_h - f\\
+      &= gh - f + g\epsilon_h + h\epsilon_g + \epsilon_g\epsilon_h\\
+      &= F(g,h) + g\epsilon_h + h\epsilon_g + \mathcal{O}(2)
+\end{align*}
+Donc nous avons $J_F(g,h)\cdot(\epsilon_g,\epsilon_h) =  g\epsilon_h + h\epsilon_g $\\
+$J_F(g,h): \mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{n+1}\right)\times\mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{l+1}\right)\rightarrow\mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{n+l+1}\right), (\epsilon_g,\epsilon_h) \mapsto g\epsilon_h + h \epsilon_g$\\
+Lec cofacteurs de Bézout ($s,t: sg+th\equiv 1 \mod x^{k+1}$) peuvent être considerés comme des inverses approximatives, alors pour l'inverse de $J_F$ on a: $J_F^{-1}(\delta) \simeq \left( \begin{matrix}
+      t\delta\%g\\
+      s\delta\%h
+\end{matrix}\right)$, $J_F^{-1}: \mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{n+l+1}\right)\rightarrow\mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{n+1}\right)\times\mathbb{K}[x,y]/\left(x^{k+1},y^{l+1}\right)$.\\
+En conséquence, cela nous donne: $N_F(g,h) =
+\left( \begin{matrix}
+      g\\
+      h
+\end{matrix}\right)
+- \left( \begin{matrix}
+      t(gh-f)\%g\\
+      s(gh-f)\%h
+\end{matrix}\right) $, pour $t(gh-f)\%g$ et $s(gh-f)\%h$, nous utilisons le fastdivrem validé.\\
+Nous trouvons $\Lambda$ et $\delta$ de la façon suivante:\\
+$|N_F(g,h)-N_F(g',h')|\leq\Lambda(r)|(g,h)-(g',h')|$ avec $g_{ij},g'_{ij}\in \left[\tilde{g}\pm r_{g,ij}\right]$ and $h_{ij},h'_{ij}\in \left[\tilde{h}\pm r_{h,ij}\right]$, $\delta \geq |N_F(\tilde{g},\tilde{h})-(\tilde{g},\tilde{h})| = |A_F(\tilde{g},\tilde{h})|$\\
+\begin{align*}
+      |N_F(g,h) - N_F(g',h')| &= \left|\left( \begin{matrix}
+            g\\
+            h
+      \end{matrix}\right)
+      - \left( \begin{matrix}
+            t(gh-f)\%g\\
+            s(gh-f)\%h
+      \end{matrix}\right)
+      - \left(
+      \left( \begin{matrix}
+            g'\\
+            h'
+      \end{matrix}\right)
+      - \left( \begin{matrix}
+            t(g'h'-f)\%g'\\
+            s(g'h'-f)\%h'
+      \end{matrix}\right)
+      \right)\right|\\
+      &=\left|\left( \begin{matrix}
+            g\\
+            h
+      \end{matrix}\right)
+      - \left( \begin{matrix}
+            t(gh-f)\%g\\
+            s(gh-f)\%h
+      \end{matrix}\right)
+      -
+      \left( \begin{matrix}
+            g'\\
+            h'
+      \end{matrix}\right)
+      + \left( \begin{matrix}
+            t(g'h'-f)\%g'\\
+            s(g'h'-f)\%h'
+      \end{matrix}\right)
+      \right|\\
+      &=\left|\left( \begin{matrix}
+            g\\
+            h
+      \end{matrix}\right)
+      -
+      \left( \begin{matrix}
+            g'\\
+            h'
+      \end{matrix}\right)
+      - \left( \begin{matrix}
+            t(gh-f)\%g\\
+            s(gh-f)\%h
+      \end{matrix}\right)
+      + \left( \begin{matrix}
+            t(g'h'-f)\%g'\\
+            s(g'h'-f)\%h'
+      \end{matrix}\right)
+      \right|\\
+\end{align*}
+$t,s$ vont rester les mêmes ou on regarde des differents? je crois qu'on avait décidé de les laisser les mêmes pour la validation, donc on les traite commes le $q_0$ avant??\\
+I need to decide which of the $g,h$ in $N_F$ are $\tilde{g},\tilde{h}$ and which are $\tilde{g}_0,\tilde{h}_0$. 
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 %\printbibliography
 
 \end{spacing}